គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ - សមីការអសនិទាននិងសមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់

សញ្ញាណដំបូងនៃរបកគំហើញមេរៀននេះ

ការសិក្សាគណិតវិទ្យា និងធរណីមាត្រតាំងពីបុរាណកាល តែងជួបប្រទះនូវ "ចំណោទបញ្ហាដែលគ្មានចម្លើយ" ប្រសិនបើគេពឹងផ្អែកត្រឹមតែការប្រើប្រាស់ចំនួនសនិទាន (ប្រភាគ) ឬសមីការដឺក្រេទី១ និងទី២ ធម្មតា។ របកគំហើញនៃសមីការអសនិទាន និងសមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់ បានកើតចេញពីករណីពិសេសក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រដូចខាងក្រោម៖

១. វិបត្តិរបស់សាលាពីតាហ្គ័រ (សមីការអសនិទាន)

Pythagorean Theorem

នៅសតវត្សទី៥ មុនគ.ស អ្នកប្រាជ្ញ ពីតាហ្គ័រ (Pythagoras) បានសិក្សាលើការេ និងត្រីកោណកែងសមបាតដែលមានរង្វាស់ជ្រុងស្មើនឹង ១ ឯកតា។ តាមទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គ័រ រង្វាស់អង្កត់ទ្រូងគឺ $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ នាំឱ្យបាន $d = \sqrt{2}$។

របកគំហើញ៖ លេខ $\sqrt{2}$ មិនអាចសរសេរជាប្រភាគបានទេ (វាក្លាយជាចំនួនអសនិទាន)។ ការស្វែងរកប្រវែងជ្រុងដែលមិនស្គាល់ នៅក្នុងរូបធរណីមាត្រដែលជាប់រ៉ាឌីកាល់ បានបង្កើតជា "សមីការអសនិទាន" ដែលទាមទារវិធីសាស្ត្រលើកជាការេដើម្បីដោះស្រាយ។

២. ចំណោទពង្រីកមាឌគូបជាពីរ (សមីការដឺក្រេទី៣)

The Delian Problem

នៅប្រទេសក្រិចបុរាណ មានរឿងព្រេងមួយហៅថា ចំណោទទីក្រុងដេឡូស (Delian Problem) ដោយទេវតាបានបញ្ជាឱ្យអ្នកស្រុក បង្កើតអាសនៈរាងគូបថ្មីមួយដែលមាន មាឌធំជាងមុន ២ដង។ បើគូបចាស់មានជ្រុង $1m$ មាឌវាគឺ $V_1 = 1m^3$។

របកគំហើញ៖ ដើម្បីបានមាឌថ្មី $V_2 = 2m^3$ គេត្រូវរកប្រវែងជ្រុងថ្មី $x$ ដែល $x \times x \times x = 2$ នាំឱ្យកើតជា សមីការដឺក្រេទី៣ ($x^3 = 2$)។ នេះជាការចាប់ផ្តើមនៃការស្រាវជ្រាវទ្រឹស្តីបទកត្តា និងការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេខ្ពស់។

១. សមីការអសនិទាន (Irrational Equations)

និយមន័យ៖ សមីការអសនិទាន គឺជាសមីការដែលមានអញ្ញាតស្ថិតនៅក្រោមរ៉ាឌីកាល់ (រ៉ាឌីកង់)។ គោលការណ៍គ្រឹះក្នុងការដោះស្រាយគឺ ការលើកអង្គទាំងពីរជាការេដើម្បីបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ ប៉ុន្តែត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នជានិច្ចចំពោះ "ឫសក្រៅ (Extraneous roots)" ដែលអាចកើតមាន។

ទម្រង់ទូទៅ៖ $\sqrt{A(x)} = B(x)$

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់៖ $B(x) \ge 0$

(ការពន្យល់៖ ដោយសារលទ្ធផលនៃរ៉ាឌីកាល់ការេជានិច្ចកាលវិជ្ជមាន ឬសូន្យ នោះអង្គម្ខាងទៀតគឺ $B(x)$ ក៏ត្រូវតែធំជាងឬស្មើសូន្យដែរ។)

ជំហានដោះស្រាយ៖ $A(x) = [B(x)]^2 \implies$ ដោះស្រាយរក $x$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ជាមួយលក្ខខណ្ឌ។

ករណីទម្រង់ពិសេសនៃសមីការអសនិទាន

ក. ទម្រង់ $\sqrt{A(x)} = \sqrt{B(x)}$

ក្នុងទម្រង់នេះ យើងមិនចាំបាច់យកលក្ខខណ្ឌទាំងពីរទេ យើងគ្រាន់តែយក៖ $A(x) \ge 0$ ឬ $B(x) \ge 0$ (ជ្រើសរើសមួយណាងាយស្រួលជាងគេ)។ ព្រោះបើវាស្មើគ្នា បើមួយ $\ge 0$ នោះមួយទៀតក៏ $\ge 0$ ដែរ។ រួចលើកជាការេ៖ $A(x) = B(x)$។

ឧទាហរណ៍៖ $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x+4} \implies$ លក្ខខណ្ឌ $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$។
លើកជាការេ៖ $2x-1 = x+4 \implies x = 5$ (យក ព្រោះ $5 \ge -4$)។

ខ. ទម្រង់ $\sqrt{A(x)} \pm \sqrt{B(x)} = C$

លក្ខខណ្ឌ៖ ត្រូវមានទាំងពីរគឺ $A(x) \ge 0$ និង $B(x) \ge 0$។ មុននឹងលើកជាការេ គប្បីបញ្ជូនរ៉ាឌីកាល់មួយទៅអង្គម្ខាងទៀតសិន (ឧ. $\sqrt{A} = C \mp \sqrt{B}$) ដើម្បីងាយស្រួលពន្លាតរូបមន្ត $(a-b)^2$។

គ. ទម្រង់ផលគុណ $\sqrt{A(x)} \cdot B(x) = 0$

លក្ខខណ្ឌ៖ $A(x) \ge 0$។ ដំណោះស្រាយមានពីរផ្នែកគឺ៖
១. $A(x) = 0$
២. $B(x) = 0$ (ដោយ $x$ ដែលរកបានត្រូវផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $A(x) \ge 0$)

ឧទាហរណ៍៖ $\sqrt{x-2} \cdot (x^2-9) = 0$
១. $x-2=0 \implies x=2$
២. $x^2-9=0 \implies x=\pm 3$។ តែលក្ខខណ្ឌ $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$។ ដូចនេះយកតែ $x=3$។ ឫសសរុប $x \in \{2, 3\}$។

លំហាត់គំរូទី១៖ ការដោះស្រាយសមីការអសនិទាន

ចំណោទ៖ ចូរដោះស្រាយសមីការ $\sqrt{2x - 1} = x - 2$

ដំណោះស្រាយតាមជំហាន៖

ជំហានទី១

រកលក្ខខណ្ឌនៃសមីការ

ដោយសាររ៉ាឌីកាល់ការេជានិច្ចកាលវិជ្ជមាន ឬសូន្យ អង្គទី២ក៏ត្រូវតែធំជាងឬស្មើសូន្យដែរ។

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

ជំហានទី២

លើកអង្គទាំងពីរជាការេ ដើម្បីបំបាត់រ៉ាឌីកាល់

$(\sqrt{2x - 1})^2 = (x - 2)^2$

$2x - 1 = x^2 - 4x + 4$

ជំហានទី៣

រៀបចំជាសមីការដឺក្រេទី២ រួចដោះស្រាយ

$x^2 - 4x + 4 - 2x + 1 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

តាមរាង $a+b+c=0 \implies$ $x = 1$ ឬ $x = 5$

ជំហានទី៤

ផ្ទៀងផ្ទាត់ឫសជាមួយលក្ខខណ្ឌ ($x \ge 2$)

ចំពោះ $x = 1$ មិនយកទេ (ជាឫសក្រៅ ព្រោះ $1 < 2$)
ចំពោះ $x = 5$ យកជាចម្លើយ (ព្រោះ $5 \ge 2$)

ដូចនេះ សំណុំឫសនៃសមីការគឺ $S = \{5\}$

ឧបករណ៍គណនាសាកល្បង៖ $\sqrt{ax + b} = c$

$x +$ $=$

២. សមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់ងាយ ($x^n = a$)

សមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់ងាយ គឺជាសមីការដែលមានទម្រង់ទូទៅ $x^n = a$ ដែល $n \ge 3$។ ការដោះស្រាយត្រូវពឹងផ្អែកទាំងស្រុងលើភាពគូសេសនៃសន្ទស្សន៍ $n$ និងសញ្ញារបស់ $a$។

ក. ករណី $n$ ជាចំនួនសេស ($n=3, 5, 7...$)

លក្ខណៈពិសេសនៃស្វ័យគុណសេសគឺវារក្សាសញ្ញាដើមជានិច្ច (វិជ្ជមាននៅវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាននៅអវិជ្ជមាន)។ ដូច្នេះ សមីការមាន ឫសពិតតែមួយគត់ សម្រាប់គ្រប់តម្លៃ $a \in \mathbb{R}$។

$x = \sqrt[n]{a}$

ខ. ករណី $n$ ជាចំនួនគូ ($n=2, 4, 6...$)

បើ $a > 0 \implies$ មានឫសពិតពីរគឺ $x = \pm\sqrt[n]{a}$
បើ $a = 0 \implies$ មានឫសឌុប $x = 0$
បើ $a < 0 \implies$ គ្មានឫសពិតទេ
គរុកោសល្យ៖ ថ្វីត្បិតគ្មានឫសក្នុងសំណុំចំនួនពិត $\mathbb{R}$ តែវាមាន ឫសកុំផ្លិច (Complex Roots) ក្នុងសំណុំ $\mathbb{C}$ ដោយយើងតាងឯកតានិម្មិត $i^2 = -1$។

ករណីពិសេស៖ សមីការទ្វេការេ (Biquadratic Equations)

សមីការមានទម្រង់ $ax^{2n} + bx^n + c = 0$ អាចបំប្លែងទៅជាសមីការដឺក្រេទី២ ដោយការតាងអញ្ញាតជំនួយ។ (ជាទូទៅនៅថ្នាក់ទី១០ ជួបរាង $ax^4 + bx^2 + c = 0$)

វិធានដោះស្រាយ៖

តាង $t = x^n$ ដោយដាក់លក្ខខណ្ឌ: បើ $n$ គូ នោះ $t \ge 0$។
ដោះស្រាយសមីការថ្មី $at^2 + bt + c = 0$ ដើម្បីរក $t$។
យកតម្លៃ $t$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ ទៅជំនួសរក $x$។

លំហាត់គំរូទី២៖ ការដោះស្រាយសមីការ $x^n=a$ និងសមីការទ្វេការេ

ក. ដោះស្រាយសមីការ $x^n = a$

១. ដោះស្រាយ $x^3 + 64 = 0$

$x^3 = -64$

ដោយសន្ទស្សន៍ $n=3$ ជាចំនួនសេស សមីការមានឫសតែមួយ៖

$x = \sqrt[3]{-64} = -4$

២. ដោះស្រាយ $x^4 - 81 = 0$

$x^4 = 81$

ដោយ $n=4$ ជាចំនួនគូ និង $81>0$ សមីការមានឫសពីរផ្ទុយគ្នា៖

$x = \pm\sqrt[4]{81} \implies x = \pm 3$

ឫសកុំផ្លិច

៣. ដោះស្រាយ $x^2 + 16 = 0$

$x^2 = -16$

ដោយ $n=2$ (គូ) និង $a=-16 < 0$ សមីការគ្មានឫសពិតទេ។ យើងប្រើចំនួននិម្មិត $i^2 = -1$ ជំនួសសញ្ញាដក។

$x^2 = 16(-1) \implies x^2 = 16i^2$

$x = \pm\sqrt{16i^2} \implies x = \pm 4i$

ខ. ដោះស្រាយសមីការទ្វេការេ

ដោះស្រាយ៖ $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

ជំហានទី១ តាងអញ្ញាតជំនួយ $t = x^2$ ដោយលក្ខខណ្ឌ $t \ge 0$។
ជំហានទី២ សមីការទៅជា៖ $t^2 - 13t + 36 = 0$
$\implies (t-4)(t-9) = 0$
$\implies t = 4$ ឬ $t = 9$ (យកទាំងពីរព្រោះ $>0$)
ជំហានទី៣ ជួសត្រលប់រក $x$៖
- បើ $t = 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$
- បើ $t = 9 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$

ដូចនេះ $S = \{-3, -2, 2, 3\}$

៣. ទ្រឹស្តីបទសំណល់ ទ្រឹស្តីបទកត្តា និងការដោះស្រាយ

ទ្រឹស្តីបទទាំងពីរនេះគឺជាឆ្អឹងខ្នង (Backbone) សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់ (ដឺក្រេ៣ឡើងទៅ) ដោយជួយយើងបំបែកសមីការទៅជាផលគុណកត្តា $(x-a)(x-b)... = 0$។

Remainder Theorem

ទ្រឹស្តីបទសំណល់

សំណល់នៃការចែក $P(x)$ នឹងទ្វេធា $(x - c)$ គឺស្មើនឹងតម្លៃលេខនៃពហុធាត្រង់ $x = c$។

$R = P(c)$

Factor Theorem

ទ្រឹស្តីបទកត្តា

ទ្វេធា $(x - c)$ គឺជា កត្តា នៃពហុធា $P(x)$ លុះត្រាតែ សំណល់ស្មើសូន្យ (ពោលគឺចែកដាច់)។

$(x-c)$ ជាកត្តា $\iff P(c) = 0$

ករណីទម្រង់ពិសេស និងការអនុវត្តន៍

ក. ករណីតួចែកមានទម្រង់ $ax + b$

នៅពេលយើងចែកពហុធានឹងទ្វេធាដែលមានមេគុណនៅមុខ $x$ ទ្រឹស្តីបទប្រែប្រួលបន្តិច៖
- សំណល់៖ $R = P(-\frac{b}{a})$
- កត្តា៖ $(ax+b)$ ជាកត្តា លុះត្រាតែ $P(-\frac{b}{a}) = 0$។

ខ. ការអនុវត្តន៍រកមេគុណមិនស្គាល់ (Unknown Coefficients)

ជារឿយៗប្រធានលំហាត់តម្រូវឱ្យយើងរកតម្លៃអក្សរតំណាង (ឧ. $k$)។

លំហាត់គំរូ៖ រក $k$ បើ $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$ ចែកដាច់នឹង $(x - 3)$។
ចម្លើយ៖ ចែកដាច់មានន័យថា $P(3) = 0 \implies 3^3 - k(3)^2 + 5(3) - 6 = 0 \implies 27 - 9k + 15 - 6 = 0 \implies 36 = 9k \implies k = 4$។

គន្លឹះរកឫសសាកល្បងរហ័ស (Speed Tips)

មុននឹងធ្វើវិធីចែកពហុធាដែលចំណាយពេលយូរ គប្បីសង្កេតមើលលក្ខណៈពិសេសទាំង៣ខាងក្រោម ដើម្បីចាប់យកឫសទី១ ភ្លាមៗ៖

១. ករណីផលបូកមេគុណទាំងអស់ស្មើសូន្យ

ឫស $x = 1$

រូបមន្ត៖ បើពហុធា $P(x)$ មានផលបូកមេគុណ $a + b + c + \dots = 0$ នោះសមីការមានឫស $x = 1$ (នាំឱ្យ $(x-1)$ ជាកត្តា)។

លំហាត់គំរូ៖ ដោះស្រាយសមីការ $2x^3 - 5x^2 + x + 2 = 0$

ការគិតលឿន៖ បូកមេគុណទាំងអស់បញ្ចូលគ្នា $2 + (-5) + 1 + 2 = 5 - 5 = 0$។
សន្និដ្ឋាន៖ ដោយផលបូកស្មើសូន្យ នោះ $x = 1$ ជាឫសទី១។ យើងអាចយកពហុធាទៅចែកនឹងកត្តា $(x-1)$ តែម្តង ដើម្បីបន្តការដោះស្រាយ។

២. ករណីមេគុណគូ ស្មើ មេគុណសេស

ឫស $x = -1$

រូបមន្ត៖ បើ $\sum$ មេគុណស្វ័យគុណគូ = $\sum$ មេគុណស្វ័យគុណសេស នោះសមីការមានឫស $x = -1$ (នាំឱ្យ $(x+1)$ ជាកត្តា)។ (ចំណាំ៖ តួសេរី ត្រូវបានចាត់ទុកជាមេគុណនៃស្វ័យគុណគូ $x^0$)

លំហាត់គំរូ៖ ដោះស្រាយសមីការ $3x^3 + 4x^2 + 5x + 4 = 0$

ការគិតលឿន៖
- ផលបូកមេគុណសេស (ដឺក្រេ៣ និង ១) ៖ $3 + 5 = 8$
- ផលបូកមេគុណគូ (ដឺក្រេ២ និង តួសេរី) ៖ $4 + 4 = 8$
សន្និដ្ឋាន៖ ដោយ $8 = 8$ នោះ $x = -1$ ជាឫសទី១។ យើងយកពហុធាទៅចែកនឹងកត្តា $(x+1)$។

៣. ករណីគ្មានតួសេរី (Constant = 0)

ឫស $x = 0$

រូបមន្ត៖ បើគ្រប់តួនៃសមីការសុទ្ធតែជាប់អញ្ញាត $x$ ទាំងអស់ (គ្មានតួលេខទទេរ) យើងមិនបាច់រកឫសសាកល្បងទេ គឺសមីការតែងតែមានឫស $x = 0$ ជានិច្ច។

លំហាត់គំរូ៖ ដោះស្រាយសមីការ $x^4 - 6x^3 + 8x^2 = 0$

ការគិតលឿន៖ ដោយគ្មានតួសេរី យើងគ្រាន់តែទាញអញ្ញាតដែលមានស្វ័យគុណតូចជាងគេចេញជាកត្តា។
សន្និដ្ឋាន៖ ទាញ $x^2$ ជាកត្តា $\implies x^2(x^2 - 6x + 8) = 0$។ ដូច្នេះ មានឫស $x = 0$ (ឫសឌុប) រួចបន្តដោះស្រាយកត្តាដែលសល់ $x^2 - 6x + 8 = 0$ តាមធម្មតា។

លំហាត់គំរូទី៣៖ ការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទកត្តាដើម្បីដោះស្រាយសមីការ

ចំណោទ៖ ចូរដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី៣៖ $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

ដំណោះស្រាយតាមជំហាន៖

ជំហានទី១

រកឫសសាកល្បង

យើងសង្កេតឃើញថា៖
- ផលបូកមេគុណសេស (ដឺក្រេ៣ និង ដឺក្រេ១) គឺ $1 + 1 = 2$
- ផលបូកមេគុណគូ (ដឺក្រេ២ និង តួសេរី) គឺ $-4 + 6 = 2$
ដោយ $2 = 2$ នាំឱ្យសមីការមានឫស $x = -1$។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទកត្តា $(x + 1)$ គឺជាកត្តាមួយនៃពហុធានេះ។

ជំហានទី២

ធ្វើវិធីចែកពហុធា (ចែកអឺគ្លីត ឬ គ្រោងហ័រន័រ)

យក $x^3 - 4x^2 + x + 6$ ចែកនឹង $(x + 1)$ គេទទួលបានផលចែកគឺ $x^2 - 5x + 6$ និងសំណល់ $0$។

ជំហានទី៣

សរសេរជាផលគុណកត្តា និងដោះស្រាយ

$(x+1)(x^2 - 5x + 6) = 0$

$(x+1)(x-2)(x-3) = 0$

ជំហានទី៤

ទាញរកឫសនៃសមីការ

$x + 1 = 0 \implies x = -1$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$

ដូចនេះ សំណុំឫសនៃសមីការគឺ $S = \{-1, 2, 3\}$

៤. អនុវត្តន៍ PISA តេស្តក្នុងជីវភាព និងយុគសម័យឌីជីថល (១៦ លំហាត់)

លំហាត់ប្រភេទ PISA ជួយបណ្តុះការត្រិះរិះពិចារណា (Critical Thinking) និងបង្ហាញពីការអនុវត្តគណិតវិទ្យាក្នុងពិភពលោកពិត ចាប់ពីកសិកម្ម វេជ្ជសាស្ត្រ រហូតដល់បច្ចេកវិទ្យា AI និង Cloud Computing។

ឯកសារយោងសម្រាប់ការចងក្រង

សៀវភៅពុម្ពគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ កម្រិតមូលដ្ឋាន និងកម្រិតខ្ពស់ (បោះពុម្ពដោយ ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា MoEYS)
ឯកសារវាយតម្លៃសមត្ថភាពសិស្ស PISA ផ្នែកគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រ (រៀបចំដោយអង្គការ OECD)
ធនធានបច្ចេកវិទ្យាសិក្សា E-Learning និង Digital Simulation Models។

សន្លឹកកិច្ចការ លំហាត់ពហុជ្រើសរើស

សូមបំពេញព័ត៌មានខាងក្រោមមុននឹងចាប់ផ្តើមធ្វើតេស្ត។ (៥០ សំណួរ | ១២០ នាទី)

ឈ្មោះសិស្ស៖

ភេទ៖

1 / 1

គណិតវិទ្យាកម្រិតថ្នាក់ទី១០ - ជំពូកទី៣ មេរៀនទី២

សមីការអសនិទាននិងសមីការដឺក្រេលំដាប់ខ្ពស់